若非零向量 $ \overrightarrow a $，$ \overrightarrow b $ 满足 $ {\left|{\overrightarrow a}\right|}=\dfrac{2\sqrt 2}{3}{\left|{\overrightarrow b}\right|} $，且 $ \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\perp \left(3\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right) $，则 $ \overrightarrow a $ 与 $ \overrightarrow b $ 的夹角为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
作 $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ 和 $3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$ 的数量积，利用两向量垂直数量积为零求得 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 夹角．因为 $ \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\perp \left(3\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right) $，所以 $ \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\cdot \left(3\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right) =0$，所以 $3\left|\overrightarrow a\right|^2-\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-2\left|\overrightarrow b\right|^2=0$，即\[3\left|\overrightarrow a\right|^2-\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\cos \left \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\right \rangle -2\left|\overrightarrow b\right|^2=0.\]将题中条件 $ {\left|{\overrightarrow a}\right|}=\dfrac{2\sqrt 2}{3}{\left|{\overrightarrow b}\right|} $ 代入可得\[\cos \left \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\right\rangle=\dfrac {\sqrt 2}2,\]所以 $ \overrightarrow a $ 与 $ \overrightarrow b $ 的夹角为 $\dfrac {\mathrm \pi} 4$．
题目
答案
解析
备注
