已知幂函数 $y=x^{m^2-2m-3}$，$m\in\mathbb{N}^\ast$ 的图像关于 $y$ 轴对称，且在 $(0,+\infty)$ 上是减函数，求满足 $(a+1)^{-\frac{m}{3}}<(3-2a)^{-\frac{m}{3}}$ 的 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-1)\cup\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{2}\right)$
【解析】
在 $(0,+\infty)$ 上是减函数 $m^2-2m-3<0$，解得 $-1<m<3$．由 $m\in\mathbb{N}^\ast$ 得到 $m=1,2$．图像关于 $y$ 轴对称，所以是偶函数取 $m^2-2m-3=-4$，所以 $m=1$．$x^{-\frac{1}{3}}$ 分别在 $(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$ 是减函数则由 $a+1>3-2a>0$ 或者 $3-2a<a+1<0$ 或者 $a+1<0,3-2a>0$ 得到 $\dfrac{3}{2}>a>\dfrac{2}{3}$ 或 $a<-1$
答案
解析
备注
