设整数 $a\geqslant 2$，集合 $A=\{y~|~y=a^x, x\in\mathbb{N^{\ast}}\}, B=\{y~|~y=(a+1)x+b,x\in\mathbb{N^{\ast}}\}
$．问：是否存在实数 $b\in [1,a]$，使得 $A\cap B\neq \emptyset ?$ 如果存在，求出 $b$ 的一切可能值及相应的 $A\cap B$；如果不存在，说明理由．
$．问：是否存在实数 $b\in [1,a]$，使得 $A\cap B\neq \emptyset ?$ 如果存在，求出 $b$ 的一切可能值及相应的 $A\cap B$；如果不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(6)
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设存在 $b\in [1,a]$，使得 $A\cap B\neq \emptyset$，即存在 $y_0\in A$ 且 $y_0\in B$，使得 $y_0=a^m$（$m\in\mathbb{N^{\ast}}$）且 $y_0=(a+1)n+b$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．从而，存在 $m,n\in\mathbb{N^{\ast}}$，使得 $a^m=(a+1)n+b$（$1\leqslant b\leqslant a$），即$$n=\frac{a^m-b}{a+1} (m,n\in\mathbb{N^{\ast}}, 1\leqslant b\leqslant a).$$因为$$\begin{aligned}
a^m-b&=((a+1)-1)^m-b\\
&=(a+1)^m-C^1_m(a+1)^{m-1}+\ldots +C_m^{m-1}(-1)^{m-1}(a+1)+(-1)^m-b,\\
\end{aligned}$$所以当 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$ 时，应使 $(-1)^m-b$ 能被 $a+1$ 整除．
当 $m$ 是正偶数时，有 $a+1~|~1-b$，结合 $a\geqslant 2, 1\leqslant b\leqslant a$，知 $b=1$ 满足要求．
当 $m$ 是正奇数时，有 $a+1~|~-1-b$，结合 $2\leqslant b+1\leqslant a+1$，知 $b=a$ 满足要求．
综上所述，满足题意的 $b$ 存在，其取值为 $b=1 $ 或 $ b=a $．当 $ b=1 $ 时，$ A\cap B=\{y~|~y=a^{2k},k\in\mathbb{N^{\ast}}\} $；当 $ b=a $ 时，$ A\cap B=\{y~|~y=a^{2k+1},k\in\mathbb{N^{\ast}}\} $．
a^m-b&=((a+1)-1)^m-b\\
&=(a+1)^m-C^1_m(a+1)^{m-1}+\ldots +C_m^{m-1}(-1)^{m-1}(a+1)+(-1)^m-b,\\
\end{aligned}$$所以当 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$ 时，应使 $(-1)^m-b$ 能被 $a+1$ 整除．
当 $m$ 是正偶数时，有 $a+1~|~1-b$，结合 $a\geqslant 2, 1\leqslant b\leqslant a$，知 $b=1$ 满足要求．
当 $m$ 是正奇数时，有 $a+1~|~-1-b$，结合 $2\leqslant b+1\leqslant a+1$，知 $b=a$ 满足要求．
综上所述，满足题意的 $b$ 存在，其取值为 $b=1 $ 或 $ b=a $．当 $ b=1 $ 时，$ A\cap B=\{y~|~y=a^{2k},k\in\mathbb{N^{\ast}}\} $；当 $ b=a $ 时，$ A\cap B=\{y~|~y=a^{2k+1},k\in\mathbb{N^{\ast}}\} $．
答案
解析
备注
