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已知 $3^a+13^b=17^a$，$5^a+7^b=11^b$，判断实数 $a,b$ 的大小关系．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    函数
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    常见初等函数
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    指数函数
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的单调性
【答案】
$a<b$
【解析】
分析考虑到 $a,b$ 都约等于 $1$，当 $a=b=1$ 时，$3^a+13^b=16<17^a$，因此需要将 $a,b$ 同时略微调大一点（否则第二个等式会出问题），由于 $17>11$，因此对 $a$ 的调整幅度会比对 $b$ 的调整幅度略小一点，猜测 $b>a$．
论证用反证法，若 $a\geqslant b$，则$$\begin{cases} 13^a\geqslant 13^b=17^a-3^a,\\ 5^b\leqslant 5^a=11^b-7^b,\end{cases}$$也即$$\begin{cases} \left(\dfrac{13}{17}\right)^a+\left(\dfrac{3}{17}\right)^a\geqslant 1,\\ \left(\dfrac{5}{11}\right)^b+\left(\dfrac{7}{11}\right)^b\leqslant 1,\end{cases}$$由于 $f(x)=\left(\dfrac{13}{17}\right)^x+\left(\dfrac{3}{17}\right)^x$ 以及 $g(x)=\left(\dfrac{5}{11}\right)^x+\left(\dfrac{7}{11}\right)^x$ 均为 $\mathbb R$ 上的单调递减函数，因此由$$\begin{cases}f(a)\geqslant 1>f(1),\\ g(b)\leqslant 1<g(1),\end{cases}$$可得 $a<1<b$，矛盾．
综上所述，$a<b$．
答案 解析 备注
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