在等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} + {a_3} = 8$，且 ${a_4}$ 为 ${a_2}$ 和 ${a_9}$ 的等比中项，求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的首项、公差及前 $n$ 项和．
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（理）
【标注】
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标注答案首项 $ a_1=4 $，公差 $d= 0$ 时，前 $n$ 项和 $S_n=4n $；首项 $ a_1=1 $，公差 $ d=3 $ 时，前 $n$ 项和 ${S_n} = \dfrac{{3{n^2} - n}}{2}$．解析本题考查等差和等比数列的相关知识．设该数列的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 ${S_n}$．由已知可得\[\begin{split} \begin{cases}2{a_1} + 2d \overset {\left[a\right]}= 8,\\
{\left( {{a_1} + 3d} \right)^2} \overset {\left[b\right]}= \left( {{a_1} + d} \right)\left( {{a_1} + 8d} \right),\end{cases} \end{split} \]（推导中用到 $ \left[a\right] $，$ \left[b\right] $．）解得\[\begin{cases}{a_1} = 4,\\d = 0,\end{cases} 或\begin{cases} {a_1} = 1,\\d = 3.\end{cases}\]即数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是首项为 $ 4 $，公差为 $0$，或首项为 $ 1 $，公差为 $ 3 $ 的等差数列．
所以数列的前 $n$ 项和\[{S_n} = 4n 或 {S_n} = \dfrac{{3{n^2} - n}}{2}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
