$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+1}{a_n+3}$，$n\in\mathbb{N}^*$，求 $a_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac {3\cdot 2^{n-1}+1}{3\cdot 2^{n-1}-1}$
【解析】
考虑递推公式对应的不动点，令\[x=\dfrac{3x+1}{x+3},\]解得 $x=\pm 1$．于是有\[a_{n+1}+1=\dfrac{4(a_n+1)}{a_n+3},\]两边取倒数化简得\[\dfrac{1}{a_{n+1}+1}=\dfrac 14+\dfrac 12\cdot\dfrac {1}{a_n+1}.\]记 $b_n=\dfrac {1}{a_n+1}$ 得到\[b_{n+1}=\dfrac 12b_n+\dfrac 14.\]于是就转化成前面的讲过的情形了．事实上，如果递推公式对应的不动点有两个，则可以通过不动点得到两个式子\[\begin{split}a_{n+1}+1=\dfrac{4(a_n+1)}{a_n+3},\\a_{n+1}-1=\dfrac{2(a_n-1)}{a_n+3}. \end{split} \]两式两边分别相除得\[\dfrac {a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=2\cdot \dfrac{a_n+1}{a_n-1}.\]于是得到\[\dfrac{a_n+1}{a_n-1}=3\cdot 2^{n-1},\]解得\[a_n=\dfrac {3\cdot 2^{n-1}+1}{3\cdot 2^{n-1}-1}.\]
答案
解析
备注
