已知 $a_1=1$，$b_1=-1$，$a_{n+1}=a_nb_{n+1}$，$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-4a_n^2}$，求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{1}{2n-1},b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$
【解析】
若消 $b_n$，则有$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}{1-4a_n^2},$$即$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n^2}=\dfrac{1}{a_{n-1}(1-4a_n^2)},$$接下来无从下手，转而选择消去 $a_n$．
根据已知，有$$4a_n^2=1-\dfrac{b_n}{b_{n+1}},$$而$$4a_{n+1}^2=4a_n^2b_{n+1}^2,$$从而$$1-\dfrac{b_{n+1}}{b_{n+2}}=(b_{n+1}-b_n)\cdot b_{n+1},$$从而$$b_{n+1}+\dfrac{1}{b_{n+2}}=b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}},$$因此数列 $\left\{b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}}\right\}$ 为常数列，有$$b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}}=2,$$于是$$\dfrac{1}{b_{n+1}-1}=\dfrac{1}{b_n-1}-1,$$因此可以求得$$\dfrac{1}{b_n-1}=-n+\dfrac 12,$$化简得$$b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$$进而$$a_n=b_n\cdot b_{n-1}\cdots b_2\cdot a_1=\dfrac{1}{2n-1}.$$综上，数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac{1}{2n-1},b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$$
根据已知，有$$4a_n^2=1-\dfrac{b_n}{b_{n+1}},$$而$$4a_{n+1}^2=4a_n^2b_{n+1}^2,$$从而$$1-\dfrac{b_{n+1}}{b_{n+2}}=(b_{n+1}-b_n)\cdot b_{n+1},$$从而$$b_{n+1}+\dfrac{1}{b_{n+2}}=b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}},$$因此数列 $\left\{b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}}\right\}$ 为常数列，有$$b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}}=2,$$于是$$\dfrac{1}{b_{n+1}-1}=\dfrac{1}{b_n-1}-1,$$因此可以求得$$\dfrac{1}{b_n-1}=-n+\dfrac 12,$$化简得$$b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$$进而$$a_n=b_n\cdot b_{n-1}\cdots b_2\cdot a_1=\dfrac{1}{2n-1}.$$综上，数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac{1}{2n-1},b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$$
答案
解析
备注
