题目 已知 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 是非零向量，构造集合 $P=\left\{\overrightarrow p\left|\overrightarrow p=t\overrightarrow a+\overrightarrow b,t\in\mathbb R\right.\right\}$．记 $P$ 中模最小的向量为 $T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)$． 问题1 对于 $T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，求 $t$ 的值．（用 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 来表示） 答案1 $t=-\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b}{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a}.$ 解析1 由于$$\left|T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\right|^2=\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a\right)t^2+\left(2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)t+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b,$$于是$$t=-\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b}{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a}.$$ 备注1 问题2 证明：$T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\perp \overrightarrow a$； 答案2 略 解析2 根据 $(1)$ 的结果，有$$T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\cdot\overrightarrow a=t\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a+\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0,$$因此原命题成立． 备注2 问题3 若 $\left|\overrightarrow a_1\right|=\left|\overrightarrow a_2\right|=1$ 且 $\langle \overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2\rangle=\dfrac{\mathrm \pi} 3$．构造向量序列 $\overrightarrow{a_n}=T\left(\overrightarrow a_{n-2},\overrightarrow a_{n-1}\right)$，其中 $n\in\mathbb N^*$，$n\geqslant 3$．请直接写出 $\left|\overrightarrow{a}_n\right|$ 的值． 答案3 $\left|\overrightarrow a_n\right|=\begin{cases}1,&n=1,\\\left(\dfrac{\sqrt 3}4\right)^{\frac n2-1},&n\geqslant 2,n\mid 2,\\2\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}4\right)^{\frac{n-1}2},&n\geqslant 3,n\nmid 2.\end{cases}$ 解析3 根据题意，$\overrightarrow a_n$ 是 $\overrightarrow a_{n-1}$ 在 $\overrightarrow a_{n-2}$ 的垂直方向上的分量，如图．<img src="/static/images/bfed05dbe67c61bf8300205f37e750f2.png" class="img-responsive" />因此可得$$\left|\overrightarrow a_n\right|=\begin{cases}1,&n=1,\\\left(\dfrac{\sqrt 3}4\right)^{\frac n2-1},&n\geqslant 2,n\mid 2,\\2\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}4\right)^{\frac{n-1}2},&n\geqslant 3,n\nmid 2.\end{cases}$$ 备注3 若 $\overrightarrow {OA}$ 和 $\overrightarrow {OB}$ 是不共线的非零向量，那么 $\big|\lambda\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}\big|$ 的最小值是点 $B$ 到 $\overrightarrow {OA}$ 的基线的距离．<br/>每日一题[66]向量螺旋．