求证：$\sin x > x - \dfrac{{{x^3}}}{6}$，$x \in \left( {0 , \dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$．
【难度】
【出处】
2010年南开大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $f\left( x \right) = \sin x - x + \dfrac{{{x^3}}}{6}$，$x \in \left( {0 ,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$，则\[\begin{split}&f'\left( x \right) = \cos x - 1 + \dfrac{1}{2}{x^2},\\&f''\left( x \right) = - \sin x + x,\\&f'''\left( x \right) = 1 - \cos x.\end{split}\]因为 $1 - \cos x > 0$ 且 $ f'''\left( 0 \right) = 0$，所以当 $x \in \left( {0,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$ 时，$f''\left( x \right) > 0$．因为 $f'\left(0 \right) = 0 $，所以当 $ x \in \left( {0 ,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$ 时，$ f'\left(x \right)> 0$，又因为 $f\left( 0 \right) = 0$，所以当 $x \in \left( {0,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$ 时，$f\left( x \right) > 0$，也即$$ \sin x > x - \dfrac{{{x^3}}}{6}.$$
答案
解析
备注
