题目 已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac ax$，其中 $a>0$． 问题1 若函数 $f(x)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right]$ 解析1 根据已知，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x-a}{x^2},\]因此函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值，亦为最小值是\[f(a)=\ln a+1,\]考虑到\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\]所以$$\ln a+1\leqslant 0,a>0$$因此符合题意的实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right]$． 备注1 问题2 求证：当 $a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$，$b\geqslant 1$ 时，$f(\ln b)>\dfrac 1b$． 答案2 略 解析2 问题即当 $a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$ 时，有\[\forall x>0,\ln x+\dfrac{a}{x}>\dfrac{1}{{\rm e}^x},\]等价于证明\[\forall x>0,\ln x+\dfrac{2}{{\rm e}x}-\dfrac{1}{{\rm e}^x}>0.\]注意到不等式即\[x\ln x-\dfrac{x}{{\rm e}^x}+\dfrac{2}{\rm e}>0,\]记 $\mu(x)=x\ln x$，则该不等式即\[\mu(x)+\mu\left({\rm e}^{-x}\right)> -\dfrac{2}{\rm e}.\]由于函数 $\mu(x)$ 的导函数\[\mu'(x)=1+\ln x,\]于是 $\mu(x)$ 在 $x=\dfrac{1}{\rm e}$ 处取得极小值，亦为最小值\[\mu\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=-\dfrac{1}{\rm e},\]这样我们就得到了 $\mu\left({\rm e}^{-x}\right)$ 在 $x=1$ 处取得最小值 $\dfrac{1}{\rm e}$．因此\[\mu(x)+\mu\left({\rm e}^{-x}\right)\geqslant -\dfrac{2}{\rm e},\]且等号无法取得，原命题得证． 备注2