已知函数 $f\left( x \right) = \left( {1 - x} \right){{\rm{e}}^x} - 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：当 $x > 0$ 时，$f\left( x \right) < 0$．标注答案略解析因为函数 $f(x)$ 的导函数$$f'\left( x \right) = - x{{\rm{e}}^x},$$所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0 , + \infty } \right)$ 上单调递减．因此当 $x > 0$ 时，$$f\left( x \right) < f\left( 0 \right) = 0.$$
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设数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 满足 ${x_n}{{\rm{e}}^{{x_{n + 1}}}} = {{\rm{e}}^{{x_n}}} - 1$ 且 ${x_1} = 1$．证明：$\left\{ {{x_n}} \right\}$ 单调递减且 ${x_{n+1}} > \dfrac{1}{2^n}$（$n\in\mathbb N^*$）．标注答案略解析显然 ${x_n} > 0$．
先证明 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 单调递减，即 ${x_{n + 1}} < {x_n}$．
由于\[\begin{split}{x_{n + 1}} < {x_n} &\Leftrightarrow {{\rm{e}}^{{x_{n + 1}}}} < {{\rm{e}}^{{x_n}}} \\
&\Leftrightarrow \dfrac{{{{\rm{e}}^{{x_n}}} - 1}}{{{x_n}}} < {{\rm{e}}^{{x_n}}}\\
& \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{{x_n}}}\left( {1 - {x_n}} \right) - 1 < 0,\end{split}\]根据第 $(1)$ 小题，命题得证．
再证明 ${x_n} > \dfrac{1}{{{2^n}}}$，只需要证明 $\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} > \dfrac{1}{2}$．用分析法$$\begin{split}\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} > \dfrac{1}{2} &\Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left({\dfrac{{{{\rm{e}}^{{x_n}}} - 1}}{{{x_n}}}} \right)}}{{{x_n}}} > \dfrac{1}{2} \\
&\Leftrightarrow \dfrac{{{{\rm{e}}^{{x_n}}} - 1}}{{{x_n}}} > {{\rm{e}}^{\frac{1}{2}{x_n}}}\\
&\Leftrightarrow {{\rm{e}}^{{x_n}}} - {x_n}{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}{x_n}}} - 1 > 0,\end{split}$$令 $g\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} - x{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}} - 1$，则$$g'\left(x \right)= {{\rm{e}}^x} - {{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}} - \dfrac{1}{2}x{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}} = {{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}}\left({{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}} - 1 - \dfrac{1}{2}x} \right),$$而当 $x > 0$ 时，有$${{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}} > \dfrac{1}{2}x + 1,$$于是当 $x \in \left( {0 , + \infty } \right)$ 时，$g'\left( x \right) > 0$．因此当 $x > 0$ 时，$$g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0,$$命题得证．
综上，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
