题目 已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：<br/>① 对任意 $f(x)\in A$，$f(x)$ 均存在反函数 $f^{-1}(x)$，且 $f^{-1}(x)\in A$；<br/>② 对任意 $f(x)\in A$，方程 $f(x)=x$ 均有解；<br/>③ 对任意 $f(x)$，$g(x)\in A$，若函数 $g(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的一次函数，则 $f(g(x))\in A$； 问题1 若 $f(x)=(\dfrac{1}{2})^x$，$g(x)=2x-3$ 均在集合 $A$ 中，求证：函数 $h(x)= \log_{\frac{1}{2}}(2x-3)\in A$； 答案1 证明：由 $f(x)=(\dfrac{1}{2})^x \in A$，根据性质 ① 可得：$f^{-1}(x)=\log_{\frac{1}{2}} \in A$，且存在 $x_0>0$，使得 $\log_{\frac{1}{2}}x_0=x_0$，由 $g(x)=2x-3\in A$，且为一次函数，根据性质 ③ 可得：$h(x)=\log_{\frac{1}{2}}(2x-3)=f^{-1}(g(x))\in A$ 解析1 略 备注1 问题2 若函数 $f(x)=\dfrac{x^2+a}{x+1}(x\geqslant 1)$ 在集合 $A$ 中，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 解：由性质 ②，方程 $ \dfrac{x^2+a}{x+1}=x(x\geq1)$，即 $a=x$ 在 $x\in[1,+\infty)$ 上有解，所以 $a\geqslant 1$．由 $f(x)=\dfrac{x^2+a}{x+1} =\dfrac{x^2-1+a-1}{x+1} =x+1+\dfrac{a+1}{x+1} -2$，$(x\in [1,+\infty)$．若 $\sqrt{a+1} >2$，$a>3$ 时，$\dfrac{a-1}{2}>1$，且 $f(1)=f(\dfrac{a-1}{2})$，所以此时 $f(x)$ 没有反函数，即不满足性质 ①．若 $\sqrt{a+1} \leqslant 2$，$1\leqslant a\leqslant 3$ 时，函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，所以函数 $f(x)$ 有反函数，即满足性质 ①．综上：$a\in [1,3]$ 解析2 略 备注2 问题3 若集合 $A$ 中的函数均为定义在 $\mathbb{R}$ 上的一次函数，求证：存在一个实数 $x_0$，使得对一切 $f(x)\in A$，均有 $f(x_0)=x_0$． 答案3 证明：任取 $f_1(x)=ax+b$，$f_2(x)=cx+d\in A$，由性质 ①，$a,c\neq 0$，不妨设 $a,c\neq1$，（若 $a=1$，则 $b=0$，则 $f_1(x)=x$），由性质 ③ 函数 $g(x)=f_1(f_2(x))=acx+(ad+b)\in A$，函数 $h(x)=f_2(f_1(x))=acx+(bc+d)\in A$，由性质 ①：$h^{-1}(x)=\dfrac{x-(bc+d)}{ac} \in A$，由性质 ③：$h^{-1}(g(x))=\dfrac{acx+(bd+b)-(bc+d)}{ac} =x+\dfrac{(ad+b)-(bc+d)}{ac} \in A$，由性质 ② 方程：$x+\dfrac{(ad+b)-(bc+d)}{ac}=x$ 有解，所以 $ad+b=bc+d$，即 $\dfrac{b}{a-1}=\dfrac{d}{c-1}$，$f_1(x)=x$，可得 $ax+b=x$，$x=\dfrac{b}{a-1}$．$f_2(x)=x$，可得 $cx+d=x$，$x=\dfrac{d}{c-1}$．由此可知：对于任意两个函数 $f_1(x)$，$f_2(x)$，存在相同的 $x_0$ 满足：$f_1(x_0)=x_0=f_2(x_0)$，所以存在一个实数 $x_0$，使得对一切 $f(x)\in A$，均有 $f(x_0)=x_0$ 解析3 略 备注3