若 $\tan(\alpha+\beta)=2\tan\alpha$，求证：$3\sin\beta=\sin(2\alpha+\beta)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
由 $\tan(\alpha+\beta)=2\tan\alpha$，得 $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}$，即 $\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha=2\sin\alpha\cos(\alpha+\beta)$ ①．另一方面，要证 $3\sin\beta=\sin(2\alpha+\beta)$，即证 $3\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]=\sin[(\alpha+\beta)+\alpha]$，即可证 $3\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-3\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha)$，化简得：$\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha=2\sin\alpha\cos(\alpha+\beta)$，因为上式与 ① 式相同，所以命题成立
【解析】
略
答案
解析
备注
