2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征 $2F$ 遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波 $3$ 名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的 $A$ 型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将 $A$ 型材料更好地投入商用，拟对 $A$ 型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入 $x$（亿元）与产品的直接收益 $y$（亿元）的数据统计如表：
当 $0<x\leqslant 17$ 时，建立了 $y$ 与 $x$ 的两个回归模型：模型 ①：$\widehat{y}=4.1x+10.9$，模型 ②：$\widehat{y}=21.3\sqrt{x}-14.4$；当 $x>17$ 时，确定 $y$ 与 $x$ 满足的线性回归方程为 $ \widehat{y}=-0.7x+\widehat{a}$．
当 $0<x\leqslant 17$ 时，建立了 $y$ 与 $x$ 的两个回归模型：模型 ①：$\widehat{y}=4.1x+10.9$，模型 ②：$\widehat{y}=21.3\sqrt{x}-14.4$；当 $x>17$ 时，确定 $y$ 与 $x$ 满足的线性回归方程为 $ \widehat{y}=-0.7x+\widehat{a}$．【难度】
【出处】
无
【标注】
-
根据下列表格中的数据，比较当 $0<x\leqslant 17$ 时模型 ①，② 的相关指数 $R^2$ 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对 $A$ 型材料进行应用改造的投入为 $17$ 亿元时的直接收益；
标注答案（1）对型材料进行应用改造的投入为 $17$ 亿元时的直接收益为 $72.93$解析略 -
为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于 $20$ 亿元时，国家给予公司补贴 $5$ 亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入 $17$ 亿元与 $20$ 亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
标注答案（2）投入 $17$ 亿元比投入 $20$ 亿元时收益小解析略
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
