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过三点 $A\left(1,3\right)$，$B\left(4,2\right)$，$C\left(1,-7\right)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M$，$N$ 两点，则 $\left|MN\right|=$  \((\qquad)\)
A: $2\sqrt 6$
B: $8$
C: $4\sqrt 6$
D: $10$
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    圆的弦长问题
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的弦长与面积问题
【答案】
C
【解析】
本题主要考查圆的弦长问题，直线与圆相交求弦长，可以通过弦长公式，也可以由半径 $r$，弦心距及与半弦长之间的关系求得．可得圆的方程为\[x^2+y^2-2x+4y-20=0 .\]令 $ x=0 $，得 $y^2+4y-20=0 $，设两个根为 $y_1 $，$y_2 $，解得 $y_1=-2+2\sqrt 6$，$y_2=-2-2\sqrt 6 $，所以\[|MN|=|y_1-y_2|=4\sqrt6.\]
题目 答案 解析 备注
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