已知 $A$，$B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle AOB=90^\circ$，$C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值为 $36$，则球 $O$ 的表面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为过球面上任意两点都可以作球的大圆，所以可以将 $A$，$B$ 两点放在同一个大圆上，此时 $\triangle OAB$ 的面积为定值，则只要三棱锥的高最大即可．在三棱锥 $O-ABC$ 中，将面 $OAB$ 看作底面，其面积为定值，
所以要使 $O-ABC$ 的体积最大，则 $C$ 到 面 $OAB$ 的距离最大，即为球的半径．
设球半径为 $R$，则三棱锥 $O-ABC$ 的最大体积\[V_{\max}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times R^2\times R=36,\]（推导中用到 $\left[a\right]$）
解得 $R=6$，此时球的表面积 $S=4{\mathrm \pi} R^2=144{\mathrm \pi} $．
所以要使 $O-ABC$ 的体积最大，则 $C$ 到 面 $OAB$ 的距离最大，即为球的半径．
设球半径为 $R$，则三棱锥 $O-ABC$ 的最大体积\[V_{\max}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times R^2\times R=36,\]（推导中用到 $\left[a\right]$）
解得 $R=6$，此时球的表面积 $S=4{\mathrm \pi} R^2=144{\mathrm \pi} $．
题目
答案
解析
备注
