如图，长方形 $ABCD$ 的边 $AB=2$，$BC=1$，$O$ 是 $AB$ 的中点，点 $P$ 沿着边 $BC$，$CD$ 与 $DA$ 运动，记 $\angle BOP=x$．将动点 $P$ 到 $A$，$B$ 两点距离之和表示为 $x$ 的函数 $f\left(x\right)$，则 $y=f\left(x\right)$ 的图象大致为 \((\qquad)\) 
A:
B:
C:
D:
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题可以先逐段求出解析式，再判断图象，但计算量较大，对于选择、填空题来说，我们可以分析关键点处的函数值，或特定区间上的函数值变化趋势来排除错误选项．用排除法排除错误选项．
当 $x\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 时，$y=PA+PB=\sqrt {4+\tan^2x}+\tan x$，图象不会是直线段，从而排除A，C；
当 $x\in\left[\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{3{\mathrm \pi} } {4}\right]$ 时，$f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=f\left(\dfrac{3{\mathrm \pi} } {4}\right)=1+\sqrt5$，$f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=2\sqrt2$．
因为 $2\sqrt2<1+\sqrt5$，所以 $f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)<f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=f\left(\dfrac{3{\mathrm \pi} } {4}\right)$，从而排除D，故选B．
当 $x\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 时，$y=PA+PB=\sqrt {4+\tan^2x}+\tan x$，图象不会是直线段，从而排除A，C；
当 $x\in\left[\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{3{\mathrm \pi} } {4}\right]$ 时，$f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=f\left(\dfrac{3{\mathrm \pi} } {4}\right)=1+\sqrt5$，$f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=2\sqrt2$．
因为 $2\sqrt2<1+\sqrt5$，所以 $f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)<f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=f\left(\dfrac{3{\mathrm \pi} } {4}\right)$，从而排除D，故选B．
题目
答案
解析
备注
