在矩形 $ABCD$ 中，$AB=2$，$AD=4$，点 $E$ 在线段 $AD$ 上且 $AE=3$，现分别沿 $BE,CE$ 将 $\triangle ABE,\triangle DCE$ 翻折，使点 $D$ 落在线段 $AE$ 上记为 $D'$，则此时二面角 $D'-EC-B$ 的余弦值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 78$
【解析】
在三面角 $E-D'BC$ 中，设 $D'-EC-B$ 的大小为 $\varphi$，则\[\cos\angle D'EB=\cos\angle D'EC\cdot\cos\angle BEC+\sin\angle D'EC\cdot\sin\angle BEC\cdot \cos\varphi,\]即\[\cos\angle AEB=\cos\angle DEC\cdot\cos\angle BEC+\sin\angle DEC\cdot\sin\angle BEC\cdot \cos\varphi.\]根据余弦定理，有\[\cos\angle BEC=\dfrac{EB^2+EC^2-BC^2}{2\cdot EB\cdot EC}=\dfrac{1}{\sqrt{65}},\]也即\[\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{1}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{65}}+\dfrac{2}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{8}{\sqrt{65}}\cdot\cos\varphi,\]解得\[\cos\varphi=\dfrac 78.\]
题目
答案
解析
备注
