在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，以 $AB$ 为一边向 $\triangle ABC$ 外作等边三角形 $ABD$，$\angle BCD=2\angle ACD$，$\overrightarrow {AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则 $\lambda+\mu=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {1-\sqrt 3}2$
【解析】
如图，作 $D$ 关于 $AC$ 的对称点 $E$，连接 $EA,EC,ED$．
根据题意，$\triangle ADE$ 也是等边三角形，且 $\angle DCE=\angle BCD$，于是\[\dfrac{CD}{\sin\angle CBD}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCD}=\dfrac{DE}{\sin\angle DCE}=\dfrac{CD}{\sin \angle DEC},\]从而 $B,C,E,D$ 四点共圆，因此 $\angle BCA=45^\circ$，进而 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，解得\[\lambda=\dfrac 12,\mu=-\dfrac{\sqrt 3}2,\]从而\[\lambda+\mu=\dfrac{1-\sqrt 3}2.\]
根据题意，$\triangle ADE$ 也是等边三角形，且 $\angle DCE=\angle BCD$，于是\[\dfrac{CD}{\sin\angle CBD}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCD}=\dfrac{DE}{\sin\angle DCE}=\dfrac{CD}{\sin \angle DEC},\]从而 $B,C,E,D$ 四点共圆，因此 $\angle BCA=45^\circ$，进而 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，解得\[\lambda=\dfrac 12,\mu=-\dfrac{\sqrt 3}2,\]从而\[\lambda+\mu=\dfrac{1-\sqrt 3}2.\]
题目
答案
解析
备注
