已知点 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，且 $AB=3$，$AC=\sqrt{13}$，$\angle ABC=60^\circ$，则 $\overrightarrow {AI}\cdot \overrightarrow{BC}$ = ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8-2\sqrt{13}$
【解析】
根据余弦定理，有\[AC^2=BA^2+BC^2-2\cdot BA\cdot BC\cdot \cos \angle ABC,\]于是\[13=9+BC^2-3\cdot BC,\]解得\[BC=4.\]于是由三角形内心的向量表达，可得\[4\overrightarrow {IA}+\sqrt{13}\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\]利用换底公式整理可得\[\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC},\]于是\[\begin{split} \overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}&=\left(\overrightarrow {BI}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\
&=\left(\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\
&=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\
&=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\cdot 6+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\cdot 16\\
&=8-2\sqrt{13}.\end{split}\]
&=\left(\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\
&=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\
&=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\cdot 6+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\cdot 16\\
&=8-2\sqrt{13}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
