定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=2$，且对任意的 $x\in\mathbb R$，都有 $f'(x)<\dfrac{1}{2}$，则不等式 $f\left(\log_{2} x\right)>\dfrac{\log_{2}x+3}{2}$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$(0,2)$
【解析】
设函数 $g(x)=f(x)-\dfrac 12x$，则\[g(1)=f(1)-\dfrac 12=\dfrac 32,\]且 $g(x)$ 单调递减，而题中不等式即\[g\left({\log_2}x\right)>\dfrac 32,\]也即\[g\left({\log_2}x\right)>g(1),\]即\[{\log_2}x<1,\]解得\[0<x<2.\]
题目
答案
解析
备注
