设函数 $f(x)=\dfrac 13 x^3-\dfrac 12(a+1)x^2+ax$，集合 $M=\{x\mid f(x)<0\}$，$P=\{x\mid f'(x)<0\}$，若 $P\subseteq M$，则 实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{0,1\}$
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=(x-1)(x-a).\]情形一 $a=1$．此时 $P$ 为空集，符合题意．
情形二 $a<1$．此时只需要 $f(x)$ 的极大值\[f(a)=\dfrac 13a^3-\dfrac 12(a+1)a^2+a^2\leqslant 0,\]解得 $a=0$．
情形三 $a>1$．此时只需要 $f(x)$ 的极大值\[f(1)=\dfrac a2-\dfrac 16\leqslant 0,\]无解．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $\{0,1\}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $\{0,1\}$．
题目
答案
解析
备注
