设函数 $f(x)$ 的定义域 $D=(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$，且 $\forall x\in D,f(x)+f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=2x$，则 $f(x)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^3-3x+1}{x^2-x}$，$x\in D$
【解析】
记 $\varphi(x)=\dfrac{x-1}{x}$，则\[\begin{split} \varphi_2(x)&=\dfrac{1}{1-x},\\
\varphi_3(x)&=x,\end{split}\]于是\[\begin{cases} f(x)+f(\varphi(x))=2x,\\
f(\varphi(x))+f(\varphi_2(x))=2\varphi(x),\\
f(\varphi_2(x))+f(x)=2\varphi_2(x),\end{cases}\]于是\[f(x)=x-\varphi(x)+\varphi_2(x),\]代入 $\varphi(x)$，$\varphi_2(x)$ 的解析式得\[f(x)=x-\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{1}{1-x},\]即\[f(x)=\dfrac{x^3-2x^2+x-1}{x^2-x},x\in D.\]
\varphi_3(x)&=x,\end{split}\]于是\[\begin{cases} f(x)+f(\varphi(x))=2x,\\
f(\varphi(x))+f(\varphi_2(x))=2\varphi(x),\\
f(\varphi_2(x))+f(x)=2\varphi_2(x),\end{cases}\]于是\[f(x)=x-\varphi(x)+\varphi_2(x),\]代入 $\varphi(x)$，$\varphi_2(x)$ 的解析式得\[f(x)=x-\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{1}{1-x},\]即\[f(x)=\dfrac{x^3-2x^2+x-1}{x^2-x},x\in D.\]
题目
答案
解析
备注
