设实数 $a,b$ 满足 $1\leqslant b\leqslant a\leqslant \sqrt3$，则 $\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt3$
【解析】
先固定 $a$，根据题意有\[m=\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=\dfrac 1a\left[b+\left(a^2-1\right)\cdot \dfrac 1b\right].\]考虑到对勾函数的单调性，其最大值必然在 $b=1$ 或 $b=a$ 时取得．因此\[m\leqslant\max\left\{a,2-\dfrac{1}{a^2}\right\}\leqslant \sqrt 3,\]等号当 $\left(a,b\right)=\left(\sqrt 3,1\right)$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
