已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x^2+y^2}+z=1$，则 $xy+2xz$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3}{3}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} 1&=\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(\dfrac34+\dfrac14\right)}+z\\
&\geqslant\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac12y+z\\
&=\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac{y+2z}2\\
&\geqslant\sqrt{\sqrt3x(y+2z)},\end{split}\]因此\[xy+2xz=x(y+2z)\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\]等号当\[ \begin{cases} x=\sqrt{3}y,\\ \sqrt3x=y+2z,\end{cases} \]即 $(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac 13\right)$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
&\geqslant\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac12y+z\\
&=\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac{y+2z}2\\
&\geqslant\sqrt{\sqrt3x(y+2z)},\end{split}\]因此\[xy+2xz=x(y+2z)\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\]等号当\[ \begin{cases} x=\sqrt{3}y,\\ \sqrt3x=y+2z,\end{cases} \]即 $(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac 13\right)$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
