在直角坐标平面 $xOy$ 内，已知两个动点 $M,N$ 在椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}=1$ 上，且 $OM\perp ON$，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM},$ 则线段 $PN$ 长度的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
根据椭圆的内准圆性质，有\[\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac 1{ON^2}=\dfrac 14+\dfrac 34=1,\]于是\[\begin{split} PN&=\sqrt{OP^2+ON^2}\\
&=\sqrt{4OM^2+ON^2}\\
&=\sqrt{\left(4OM^2+ON^2\right)\cdot \left(\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac 1{ON^2}\right)}\\
&=\sqrt{5+\dfrac{4OM^2}{ON^2}+\dfrac{ON^2}{OM^2}}\\
&\geqslant 3,\end{split}\]等号当 $ON=\sqrt 2\cdot OM$ 时取得．考虑到 $\dfrac{OM}{ON}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1}{\sqrt 3},\sqrt 3\right]$，因此等号可以取到，所求线段 $PN$ 长度的最小值为 $3$．
&=\sqrt{4OM^2+ON^2}\\
&=\sqrt{\left(4OM^2+ON^2\right)\cdot \left(\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac 1{ON^2}\right)}\\
&=\sqrt{5+\dfrac{4OM^2}{ON^2}+\dfrac{ON^2}{OM^2}}\\
&\geqslant 3,\end{split}\]等号当 $ON=\sqrt 2\cdot OM$ 时取得．考虑到 $\dfrac{OM}{ON}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1}{\sqrt 3},\sqrt 3\right]$，因此等号可以取到，所求线段 $PN$ 长度的最小值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
