在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $\cos 2B+1=2\sin^2\dfrac B2$，$b=3$，则 $a+c$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(3,6]$
【解析】
由二倍角公式和半角公式，有\[\left(2\cos^2B-1\right)+1=2\cdot \dfrac{1-\cos B}2,\]解得 $\cos B=-1$（舍去）或 $\cos B=\dfrac 12$，因此 $B=\dfrac{\pi}3$．
设 $A=\dfrac{\pi}3+x$，$C=\dfrac{\pi}3-x$，其中 $x\in\left(-\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$，则由正弦定理可得\[ a+c=b\cdot \dfrac{\sin A+\sin C}{\sin B}
=6\cos x,\]因此 $a+c$ 的取值范围是 $(3,6]$．
设 $A=\dfrac{\pi}3+x$，$C=\dfrac{\pi}3-x$，其中 $x\in\left(-\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$，则由正弦定理可得\[ a+c=b\cdot \dfrac{\sin A+\sin C}{\sin B}
=6\cos x,\]因此 $a+c$ 的取值范围是 $(3,6]$．
题目
答案
解析
备注
