已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 为曲线 $2xy-5x-4y+6=0$ 上的动点，则 $OP$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt5}2$
【解析】
设目标函数为 $f(x,y)=x^2+y^2$，考虑函数 $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$，由拉格朗日乘数法可得\[\begin{cases} 2x+\lambda\cdot \left(2y-5\right)=0,\\
2y+\lambda\cdot \left(2x-4\right)=0,\end{cases}\]解得\[(x,y,\lambda)=\left(1,\dfrac 12,\dfrac 12\right).\]于是\[\begin{split} OP^2&=x^2+y^2\\
&=x^2+y^2+\dfrac 12\left(2xy-5x-4y+6\right)\\
&=\left(x+\dfrac 12y-\dfrac 54\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 54\\
&\geqslant \dfrac 54,\end{split}\]等号当 $\left(x,y\right)=\left(1,\dfrac 12\right)$ 时取得．因此所求 $OP$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt 5}2$．
2y+\lambda\cdot \left(2x-4\right)=0,\end{cases}\]解得\[(x,y,\lambda)=\left(1,\dfrac 12,\dfrac 12\right).\]于是\[\begin{split} OP^2&=x^2+y^2\\
&=x^2+y^2+\dfrac 12\left(2xy-5x-4y+6\right)\\
&=\left(x+\dfrac 12y-\dfrac 54\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 54\\
&\geqslant \dfrac 54,\end{split}\]等号当 $\left(x,y\right)=\left(1,\dfrac 12\right)$ 时取得．因此所求 $OP$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt 5}2$．
题目
答案
解析
备注
