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下列说法中正确的是 ．
① 对于定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$，若 $f(-3)=f(3)$，则函数 $f(x)$ 不是奇函数；
② 定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0]$ 上是单调增函数，在区间 $(0,+\infty)$ 上也是单调递增函数，则函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是单调增函数；
③ 已知函数的解析式为 $y=x^2$，它的值域为 $\{4,9\}$，那么这样的函数共有 $9$ 个；
④ 若函数 $f(x)={\log_2}x$，则对于任意的 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$，都有 $\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2\leqslant f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
【答案】
③④
【解析】
命题 ① 函数 $f(x)=0$ 即为反例；
命题 ② 函数 $f(x)=\begin{cases} x,x\leqslant 0,\\ x-1,x>0,\end{cases}$ 即为反例；
命题 ③ 函数 $f(x)$ 的定义域 $D=D_1\cup D_2$，其中 $D_1,D_2$ 分别为 $\{-2,2\}$ 和 $\{-3,3\}$ 的非空子集，因此可能的情况数为 $3\cdot 3=9$；
命题 ④ 根据题意，有\[LHS=\dfrac{{\log_2}x_1+{\log_2}x_2}2={\log_2}\sqrt{x_1x_2}\leqslant {\log_2}\dfrac{x_1+x_2}2=RHS,\]因此命题成立．
题目 答案 解析 备注
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