已知二次函数 $f(x)=ax^2+4x$ 的值域是 $(-\infty,4]$，方程 $f(|x|)-m+3=0$ 有 $2$ 个实数解，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,3)\cup \{7\}$
【解析】
由二次函数的顶点坐标公式可得\[\dfrac{4\cdot a\cdot 0-4^2}{4a}=4,\]于是 $a=-1$．
思路一 考虑函数 $y=f(|x|)$ 与直线 $y=m-3$ 有两个公共点，如图．
可得 $m-3<0$ 或 $m-3=4$，从而实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,3)\cup \{7\}$．
思路二 令 $t=|x|$，则关于 $t$ 的方程\[f(t)-m+3=0\]在区间 $(0,+\infty)$ 上只有一个实数解，如图．
可得 $m-3<0$ 或 $m-3=4$，从而实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,3)\cup \{7\}$．
可得 $m-3<0$ 或 $m-3=4$，从而实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,3)\cup \{7\}$．可得 $m-3<0$ 或 $m-3=4$，从而实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,3)\cup \{7\}$．
题目
答案
解析
备注
