已知 $x,y$ 为实数，则 $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}-x-y$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【解析】
令 $u=x+y$，$v=x-y$，则$$x=\dfrac{u+v}{2},y=\dfrac{u-v}{2},$$所以\[\begin{split}f(x,y)&=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^{2}+\dfrac{u+v}{2}\cdot \dfrac{u-v}{2}+\left(\dfrac{u-v}{2}\right)^{2}-u\\&=\dfrac{3u^{2}-4u+v^{2}}{4}\\&=\dfrac{3\left(u-\dfrac{2}{3}\right)^{2}}{4}+\dfrac{v^{2}}{4}-\dfrac{1}{3}\\
&\geqslant -\dfrac{1}{3},\end{split}\]当且仅当 $u=\dfrac 23$，$v=0$ 时，等号成立．此时 $x=y=\dfrac 13$．
&\geqslant -\dfrac{1}{3},\end{split}\]当且仅当 $u=\dfrac 23$，$v=0$ 时，等号成立．此时 $x=y=\dfrac 13$．
题目
答案
解析
备注
