已知 $x,y$ 为实数，则 $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}-x-y$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
f(x,y)&=\left(x+\dfrac{y-1}{2}\right)^2+y^2-y-\left(\dfrac{y-1}2\right)^2\\
&=\left(x+\dfrac{y-1}2\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 13\right)^2-\dfrac 13,
\end{split}\]于是当\[x+\dfrac{y-1}2=y-\dfrac 13=0\]即\[x=y=\dfrac 13\]时 $f(x,y)$ 取得最小值 $-\dfrac 13$．
f(x,y)&=\left(x+\dfrac{y-1}{2}\right)^2+y^2-y-\left(\dfrac{y-1}2\right)^2\\
&=\left(x+\dfrac{y-1}2\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 13\right)^2-\dfrac 13,
\end{split}\]于是当\[x+\dfrac{y-1}2=y-\dfrac 13=0\]即\[x=y=\dfrac 13\]时 $f(x,y)$ 取得最小值 $-\dfrac 13$．
题目
答案
解析
备注
