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已知单位向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，设向量 $\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，其中 $x,y\in\mathbb R$，若 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=1$，则 $x+2y$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    判别式法
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
$[1,5]$
【解析】
根据题意，有\[\left|(x-1)\overrightarrow a+(y-1)\overrightarrow b\right|=1,\]因此\[(x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)^2=1.\]记 $(m,n)=(x-1,y-1)$，则\[x+2y=m+2n+3,\]其中\[m^2+mn+n^2=1.\]令 $t=m+2n$，则 $m=t-2n$，因此\[3n^2-3tn+t^2-1=0,\]其判别式\[\Delta=-3(t+2)(t-2)\geqslant 0,\]解得 $t$ 的取值范围是 $[-2,2]$，因此所求代数式的取值范围是 $[1,5]$．
题目 答案 解析 备注
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