已知 $F_1$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左焦点，$P$ 是双曲线 $C$ 右支上一点，过 $F_1$ 且与 $PF_1$ 垂直的直线交双曲线左支于 $R,Q$ 两点，其中 $P$ 与 $R$ 关于原点对称，$\triangle QF_1P$ 为等腰三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}2$
【解析】
设 $F_2$ 为双曲线 $C$ 的右焦点，连接 $PF_2,RF_2$，则由于 $PR$ 与 $F_1F_2$ 互相平分，因此 $PF_1RF_2$ 为矩形．不妨设 $a=1$，$PF_1=QF_1=m$，则\[PF_2=RF_1=m-2,\]因此由\[QR^2+RF_2^2=QF_2^2\]可得\[(2m-2)^2+m^2=(m+2)^2,\]解得\[m=3.\]于是\[F_1F_2=\sqrt{m^2+(m-2)^2}=\sqrt{10},\]因此双曲线 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{10}}2$．
题目
答案
解析
备注
