设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
利用基本量的方法进行判断每个不等式的正确性．注意均值不等式的应用．设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$．
C中，若 $0<a_1<a_2$，可知 $a_1>0$，$d>0$，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递增数列，所以 $ a_3>a_2>a_1>0$．因为 $2a_2=a_1+a_3$，而 $a_1+a_3>2\sqrt{a_1a_3}$，所以 $a_2>\sqrt{a_1a_3}$，故选项C正确．
下面分析选项A，B，D：
A：若 $a_1+a_2>0$，则 $a_2+a_3=a_1+a_2+2d$，由于 $ d $ 的正负不确定，因而 $a_2+a_3$ 的符号不确定，故选项A错误；
B：若 $a_1+a_3<0$，则 $a_1+a_2=a_1+a_3-d$，由于 $ d $ 的正负不确定，因而 $a_1+a_2$ 的符号不确定，故选项B错误；
D：若 $a_1<0$，则 $\left(a_2-a_1\right)\left(a_2-a_3\right)=-d^2\leqslant 0$，所以D不正确．
C中，若 $0<a_1<a_2$，可知 $a_1>0$，$d>0$，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递增数列，所以 $ a_3>a_2>a_1>0$．因为 $2a_2=a_1+a_3$，而 $a_1+a_3>2\sqrt{a_1a_3}$，所以 $a_2>\sqrt{a_1a_3}$，故选项C正确．
下面分析选项A，B，D：
A：若 $a_1+a_2>0$，则 $a_2+a_3=a_1+a_2+2d$，由于 $ d $ 的正负不确定，因而 $a_2+a_3$ 的符号不确定，故选项A错误；
B：若 $a_1+a_3<0$，则 $a_1+a_2=a_1+a_3-d$，由于 $ d $ 的正负不确定，因而 $a_1+a_2$ 的符号不确定，故选项B错误；
D：若 $a_1<0$，则 $\left(a_2-a_1\right)\left(a_2-a_3\right)=-d^2\leqslant 0$，所以D不正确．
题目
答案
解析
备注
