给出下列命题：
① 存在实数 $x$，使得 $\sin x+\cos x=\dfrac 32$；
② 函数 $y=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)$ 对称；
③ 若函数 $f(x)=k\sin x+\cos x$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{4},0\right)$ 对称，则 $k=-1$；
④ 在平行四边形 $ABCD$ 中，若 $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\right|$，则四边形 $ABCD$ 的形状一定是矩形．
则其中正确的序号是 ．（将正确的判断的序号都填上）
① 存在实数 $x$，使得 $\sin x+\cos x=\dfrac 32$；
② 函数 $y=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)$ 对称；
③ 若函数 $f(x)=k\sin x+\cos x$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{4},0\right)$ 对称，则 $k=-1$；
④ 在平行四边形 $ABCD$ 中，若 $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\right|$，则四边形 $ABCD$ 的形状一定是矩形．
则其中正确的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
③④
【解析】
对于命题 ①，由于\[\sin x+\cos x=\sqrt 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)\leqslant \sqrt 2<\dfrac 32,\]于是该命题不正确；
对于命题 ②，由于\[\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\Big|_{x=\frac{\pi}{12}}=1,\]于是题中函数关于 $x=\dfrac{\pi}{12}$ 对称，该命题不正确；
对于命题 ③，由于\[f\left(\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}2\left(k+1\right),\]因此命题正确；
对于命题 ④，条件即平行四边形的两条对角线长相等，因此命题正确．
对于命题 ②，由于\[\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\Big|_{x=\frac{\pi}{12}}=1,\]于是题中函数关于 $x=\dfrac{\pi}{12}$ 对称，该命题不正确；
对于命题 ③，由于\[f\left(\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}2\left(k+1\right),\]因此命题正确；
对于命题 ④，条件即平行四边形的两条对角线长相等，因此命题正确．
题目
答案
解析
备注
