已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 为单调函数，且 $f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)=2$，则 $f(1)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1\pm\sqrt 5$
【解析】
根据题意，有\[f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)\cdot f\left(f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)+\dfrac {2}{f(x)+\dfrac 2x}\right)=2,\]于是\[f(x)=f\left(f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)+\dfrac {2}{f(x)+\dfrac 2x}\right),\]从而\[f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)+\dfrac {2}{f(x)+\dfrac 2x}=x,\]即\[\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{2}{f(x)+\dfrac 2x}=x,\]解得\[f(x)=\dfrac{1\pm \sqrt 5}x,\]于是\[f(1)=1\pm\sqrt 5.\]
题目
答案
解析
备注
