已知函数 $f(x)=mx^3+(2m-1)x^2+x$ 对任意两个不相等的实数 $x_1,x_2\in [3,+\infty)$，都有 $\dfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1^2x_2-x_1x_2^2}>2$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 38,+\infty\right)$
【解析】
不等式\[\dfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1^2x_2-x_1x_2^2}>2,\]即\[\dfrac{\left(\dfrac{f(x_1)}{x_1}-2x_1\right)-\left(\dfrac{f(x_2)}{x_2}-2x_2\right)}{x_1-x_2}>0,\]于是题意即函数 $\dfrac{f(x)}{x}-2x$ 在 $[3,+\infty)$ 上单调递增．又\[\dfrac{f(x)}{x}-2x=mx^2+(2m-3)x+1,\]因此\[\begin{cases} m>0,\\
-\dfrac{2m-3}{2m}\leqslant 3,\end{cases}\]解得实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 38,+\infty\right)$．
-\dfrac{2m-3}{2m}\leqslant 3,\end{cases}\]解得实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 38,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
