因为 $f(x)$ 为增函数，所以有$$\begin{cases} \sqrt{m+3}+k=-n,\\\sqrt{n+3}+k=-m,\end{cases}$$从而有 $-k=\sqrt{m+3}+n=\sqrt{n+3}+m$，于是有$$m-\sqrt{m+3}=n-\sqrt{n+3}=t,$$所以 $x-\sqrt{x+3}=t$ 有两根 $m,n$，移项得 $\sqrt{x+3}=x-t$，两边平方整理得$$x^2-(2t+1)x+(t^2-3)=0.$$由这个方程的两根为 $m,n$ 及化简过程知 $n>m\geqslant -3$，且 $n>m\geqslant t$．设$$g(x)=x^2-(2t+1)x+t^2-3,$$则有$$\begin{cases} \Delta=4t+13 >0,\\g(t)\geqslant 0,\\g(-3)\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $-\dfrac {13}{4}<t\leqslant -3$．
由韦达定理知 $m+n=2t+1$，寻找 $k$ 与 $t$ 的关系：
因为$$\begin{split} 2t=&m+n-\sqrt{m+3}-\sqrt{n+3}\\=&m+n-(-k-n)-(-k-m)\\=&2(m+n+k)\\=&2(2t+1+k),\end{split}$$所以 $k=-t-1\in\left[2,\dfrac 94\right)$．