已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a,b,c\in\mathbb Z$），若方程 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有两个实数根，$f(-1)>-1$，则 $a$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
记\[g(x)=f(x)-x,\]设\[g(x)=a(x-x_1)(x-x_2),\]其中 $x_1,x_2\in (0,1)$．根据题意，有\[\begin{cases} g(0)>0,\\ g(1)>0,\end{cases}\]考虑到 $g(0),g(1)$ 均为整数，因此\[1\leqslant g(0)\cdot g(1)=a^2\cdot x_1(1-x_1)\cdot x_2(1-x_2)\leqslant \dfrac {a^2}{16},\]于是 $a\geqslant 4$．又当\[f(x)=4x^2-4x+1\]时，方程 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有两个相等的实根 $\dfrac 12$，且 $f(-1)>-1$，于是 $a$ 的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
