已知函数 $f(x)=a{\rm e}^x-x\ln x$，存在 $n\in\mathbb N$，使得函数 $f(x)$ 在区间 $(n,n+2)$ 上有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{2+\ln 2}{{\rm e}^2},\dfrac{1}{\rm e}\right)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a{\rm e}^x-1-\ln x,\]于是问题即函数\[\varphi(x)=\dfrac{1+\ln x}{{\rm e}^x}\]的图象与直线 $y=a$ 在 $(n,n+2)$（$n\in \mathbb N$）上有两个公共点．函数 $\varphi(x)$ 的导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{1-x-x\ln x}{x{\rm e}^x},\]于是\[\begin{array} {c|ccccc}\hline
x&0^+&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline
\varphi'(x)&&+&0&-&\\ \hline
\varphi(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0^+\\ \hline
\end{array}\]因此必然有个极值点位于区间 $(0,1)$，因此 $n=0$，从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\varphi(2),\dfrac{1}{\rm e}\right)$，即 $\left(\dfrac{2+\ln 2}{{\rm e}^2},\dfrac{1}{\rm e}\right)$．
x&0^+&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline
\varphi'(x)&&+&0&-&\\ \hline
\varphi(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0^+\\ \hline
\end{array}\]因此必然有个极值点位于区间 $(0,1)$，因此 $n=0$，从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\varphi(2),\dfrac{1}{\rm e}\right)$，即 $\left(\dfrac{2+\ln 2}{{\rm e}^2},\dfrac{1}{\rm e}\right)$．
题目
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