设 $m>1$，若 $x,y$ 满足 $\begin{cases}y\geqslant x,\\ y\leqslant mx,\\ x+y\leqslant 1\end{cases}$ 时，函数 $z=x+my$ 的最大值是 $4$，则 $m$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$2+\sqrt 7$
【解析】
当 $m>1$ 时，不等式组表示的平面区域如下：
将直线 $x+my=0$ 进行平移，当直线经过 $A\left(\dfrac{1}{m+1},\dfrac m{m+1}\right)$ 时，$z$ 取得最大值，所以$$\dfrac 1{m+1}+\dfrac{m^2}{m+1}=4,$$解得$$m=2+\sqrt 7.$$
将直线 $x+my=0$ 进行平移，当直线经过 $A\left(\dfrac{1}{m+1},\dfrac m{m+1}\right)$ 时，$z$ 取得最大值，所以$$\dfrac 1{m+1}+\dfrac{m^2}{m+1}=4,$$解得$$m=2+\sqrt 7.$$
题目
答案
解析
备注
