查看数据源：5a4767a2fab7080007917b35
已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$AB=6$，$AC=10$，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $2x+10y=5$，则 $\cos\angle BAC$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
    >
    三点共线的向量表达
【答案】
$\dfrac 13$ 或 $\dfrac 35$
【解析】
根据题意有$$\overrightarrow{AO}=\dfrac25x\cdot\dfrac52\overrightarrow{AB}+2y\cdot\dfrac12\overrightarrow{AC},$$分别记 $\dfrac52\overrightarrow{AB}$ 与 $
\dfrac12\overrightarrow{AC}$ 为 $\overrightarrow{AB_1}$ 与 $\overrightarrow{AC_1}$ 由于$$\dfrac25x+2y=1,$$所以 $O,B_1,C_1$ 三点共线．
情形一 若 $O$ 与 $C_1$ 重合，则 $\triangle ABC$ 为直角三角形，且角 $B$ 为直角，此时$$\cos \angle BAC=\dfrac35.$$情形二若 $O$ 与 $C_1$ 不重合，则在 $\triangle AB_1C_1$ 中，$AC_1\perp B_1C_1$，此时$$\cos \angle BAC=\cos \angle B_1AC_1=\dfrac13.$$综上 $\cos\angle BAC=\dfrac35$ 或 $\dfrac13$．
题目 答案 解析 备注
0.113477s