令 $\sin x+ \cos x=t$，则\[\sqrt 2m+(m-\cos x)(\sin x-m)=\sqrt 2m-m^2+mt-\dfrac {t^2-1}2,\]考虑 $x$ 与 $t$ 的对应关系，当 $t\in \left[-1,1\right)\cup\left\{\sqrt 2\right\}$ 时，$1$ 个 $t$ 对应 $1$ 个 $x$；当 $t\in\left(1,\sqrt 2\right)$ 时，$1$ 个 $t$ 对应 $2$ 个 $x$；当 $t$ 为其他值时，没有 $x$ 与 $t$ 对应．接下来研究函数\[g(t)=-\dfrac 12t^2+
mt-m^2+\sqrt 2m+\dfrac 12,\]该函数的零点为\[t=m\pm \sqrt{1+2\sqrt 2m-m^2},\]考虑到当 $m\geqslant 1$ 时，有\[m+ \sqrt{1+2\sqrt 2m-m^2}>\sqrt 2,\]因此问题等价于\[\left(-1\leqslant m- \sqrt{1+2\sqrt 2m-m^2}<1\right)\lor\left(m- \sqrt{1+2\sqrt 2m-m^2}=\sqrt 2\right),\]解得实数 $m$ 的取值范围是 $\left[1,1+\sqrt 2\right)\cup\left\{\sqrt 2+\dfrac 12\sqrt 6\right\}$．