已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴的左、右端点，$O$ 为坐标原点，$S,Q,T$ 是椭圆 $E$ 上不同于 $A,B$ 的三点，直线 $QA,QB,OS,OT$ 围成一个平行四边形 $OPQR$，则 $OS^2+OT^2=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a^2+b^2$
【解析】
直线 $OS$ 与直线 $OT$ 的斜率之积等于直线 $ QA $ 与直线 $ QB$ 的斜率之积．设 $S(x_1,y_1)$，$T(x_2,y_2)$，根据椭圆的斜率积定义，有\[\dfrac{y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]于是\[\dfrac{a^2}{b^2}y_1^2\cdot \dfrac{a^2}{b^2}y_2^2=x_1^2\cdot x_2^2,\]也即\[(a^2-x_1^2)(a^2-x_2^2)=x_1^2\cdot x_2^2,\]整理得\[x_1^2+x_2^2=a^2,\]从而\[\begin{split} OS^2+OT^2&=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\\
&=x_1^2+x_2^2+\dfrac{b^2}{a^2}\cdot (a^2-x_1^2)+\dfrac{b^2}{a^2}\cdot (a^2-x_2^2)\\
&=a^2+b^2.\end{split}\]
&=x_1^2+x_2^2+\dfrac{b^2}{a^2}\cdot (a^2-x_1^2)+\dfrac{b^2}{a^2}\cdot (a^2-x_2^2)\\
&=a^2+b^2.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
