已知 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的高与 $AB$ 边的长相等，则 $\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2$
【解析】
设 $BC$ 边上的高为 $AH$，$H$ 为垂足，不妨令 $AH=BC=2$，若 $BC$ 中点为 $M$，则记$$x=BM-BH,$$于是$$\begin{cases} BH=1-x,\\ CH=1+x, \end{cases}$$则$$\begin{split} \dfrac{AC}{AB}+\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{BC^2}{AB\cdot AC}&=\dfrac{AC^2+AB^2+BC^2}{AB\cdot AC}\\
&=\dfrac{2AH^2+BC^2+BH^2+CH^2}{\sqrt{(AH^2+BH^2)(AH^2+CH^2)}}\\
&=\dfrac{2x^2+14}{\sqrt{(5+x^2)^2-4x^2}}\\
&\leqslant 2\sqrt2.\end{split}$$当 $x=\pm 1$ 时上式取得等号，因此所求表达式的最大值为 $2\sqrt2$．
&=\dfrac{2AH^2+BC^2+BH^2+CH^2}{\sqrt{(AH^2+BH^2)(AH^2+CH^2)}}\\
&=\dfrac{2x^2+14}{\sqrt{(5+x^2)^2-4x^2}}\\
&\leqslant 2\sqrt2.\end{split}$$当 $x=\pm 1$ 时上式取得等号，因此所求表达式的最大值为 $2\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
