当 $x\in\left[\dfrac 32,4\right]$ 时，不等式 $|ax^2+bx+4a|\leqslant 2x$ 恒成立，则 $6a+b$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
根据题意，有\[\forall x\in\left[\dfrac 32,4\right],\left|a\left(x+\dfrac 4x\right)+b\right|\leqslant 2,\]即\[\forall x\in [4,5],|ax+b|\leqslant 2,\]也即\[\begin{cases} -2\leqslant 4a+b\leqslant 2,\\ -2\leqslant 5a+b\leqslant 2,\end{cases}\]从而\[6a+b=-(4a+b)+2(5a+b)\leqslant 6,\]等号当 $(a,b)=(4,-18)$ 时取得．因此 $6a+b$ 的最大值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
