已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 上存在两点 $M,N$ 关于直线 $y=x+m$ 对称，且 $MN$ 的中点在抛物线 $y^2=18x$ 上，则实数 $m$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0,-8$
【解析】
根据题意直线 $MN$ 的斜率为 $-1$，设 $MN$ 的中点坐标为 $P(2t^2,6t)$．
情形一 直线 $MN$ 过坐标原点，此时 $P$ 为坐标原点，$m=0$．
情形二 直线 $MN$ 不过坐标原点，则直线 $OP$ 的斜率\[k_{OP}=\dfrac {6t}{2t^2}=\dfrac{3}{t},\]根据双曲线的“垂径定理”，有\[\dfrac{3}{t}\cdot (-1)=3,\]解得\[t=-1,\]因此\[m=6t-2t^2=-8.\]综上所述，实数 $m$ 的值为 $0,-8$．
题目
答案
解析
备注
