已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left(\overrightarrow a -\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则 $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow b\right|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt 7 -1,\sqrt 7+1\right]$
【解析】
因为 $\left(\overrightarrow a -\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，即$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-\overrightarrow c\cdot \left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow c=0,$$所以$$\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+1\right)^2=\left[c\cdot \left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\right]^2,$$解得 $\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|^2=\sqrt 7$，所以$$-\sqrt 7\leqslant \overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant \sqrt 7,$$因此由$$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow b\right|^2=8-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$$可得 $\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 7 -1,\sqrt 7+1\right]$．
题目
答案
解析
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