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已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left(\overrightarrow a -\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则 $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow b\right|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    矩形的性质
【答案】
$\left[\sqrt 7 -1,\sqrt 7+1\right]$
【解析】
设半径为 $2$ 圆 $O$ 上有两点 $A,B$，$C$ 为圆内一点，且 $OC=1$，则 $CA\perp CB$，以 $A,C,B$ 为顶点作矩形 $ACBD$，其中 $D$ 为矩形的第四个顶点．这样就有 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 分别为 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$，且\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=AB=CD.\]根据矩形的性质，有\[OA^2+OB^2=OC^2+OD^2,\]于是 $D$ 点的轨迹是以 $O$ 为圆心，$\sqrt 7$ 为半径的圆，于是 $CD$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 7 -1,\sqrt 7+1\right]$．
题目 答案 解析 备注
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